Bull. Sci. math. 126 (2002) 1–29
Connexion de Gauss–Manin associée à ladéformation verselle de la singularitéAµ
et zéros de l’intégrale hyperelliptique
Susumu Tanabé1
Independent University of Moscow, Bol’shoj Vlasijevskij Pereulok 11,Moscow, 121002, Russia
Reçu en septembre 2001
Présenté par M.-P. Malliavin
Résumé
On étudie le système des équations différentielles satisfaites par l’intégrale hyperelliptiqueassociée au cycleγs ⊂ (x, y) ∈ C2: H(x,y; s) = 0 définie pour la déformation verselle de lasingularitéAµ. Comme application, on obtient une estimation de la multiplicité des zéros del’intégraleIω(s)=
∫γsω en fonction deµ et de deg(ω). 2002 Éditions scientifiques et médicales
Elsevier SAS. Tous droits réservés.
AMS classification:32S40; 34C08; 32G34; 34M35
Mots-clés :Connexion de Gauss–Manin ; Zéros de l’intégrale d’Abel ; Système de Picard–Fuchs ; Déformationisomonodromique
1. Introduction
Dans cette note on poursuit directement les recherches sur les problèmes traités dans lapremière partie du travail précédent [2], i.e. la description raisonnable de la connexion deGauss–Manin associée à la déformation verselle de la singularitéAµ. Notre objet principal
Adresse e-mail :[emailprotected] (S. Tanabé).1 Travail réalisé par le soutien financier de l’ homme d’affaires M. Mikhail S. Gavounas (Moscou, Russie) et
du Max Planck Institut für Mathematik, Bonn.
0007-4497/02/$ – see front matter 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.PII: S0007-4497(01)01103-4
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est l’intégrale hyperelliptique que l’on définit sur une courbe hyperelliptique. Regardonsun polynôme dépendant deµ− 1 paramètress′ = (s1, s2, . . . , sµ−1),
H(x,y)= F(x, s′)− y2, (1.1)
F(x, s′)= xµ+1+ sµ−1xµ−1+ · · · + s1x, µ, ν 2.
On prend un cycle évanescent
γs ⊂(x, y) ∈C2: H(x,y)+ s0= 0
, s = (s0, s
′), (1.2)
du polynômeH(x,y) et une 1-forme polynomialeω = P(x, y) dx +Q(x,y) dy, alors onappelle l’expression
Iω(s)=∫γs
ω,
intégrale hyperelliptique.Dans [2], on s’occupait, entre autres, du problème d’adjacence entre diverses intégrales
hyperelliptiques associées aux différentes singularitésAµ−1 et Aµ. Par contre, ici onrecherche la structure du système de Gauss–Manin le long d’une strate de son ensemblecritique (du discriminant). L’invariance des exposants de monodromie le long de lastrateµ = const est connue depuis Varchenko [13]. Ici nous allons établir un énoncé unpeu plus fin sur les exposants caractéristiques du système de Fuchs (voir la définition3.1) qui dépendent explicitement du degré de l’intégrandω de Iω(s) (voir le théorèmed’isomonodromie renforcé 3.4). Pour autant qu’il s’agisse de l’intégrale (2.2),(2.2′), notrethéorème est une version forte de celui de Varchenko, car nous constatons l’invariance deµ
(ou bienµ + 1) exposants pour chaque intégraleIω(s), pourtant Varchenko a démontrél’invariance du minimum de cesµ exposants.
Dans [1,2] (17), nous avons proposé une nouvelle définition du système du type deFuchs avec lieu singulierD, un diviseur d’une variété complexe lisseS en tant que systèmede Pfaff avec les coefficients deΩ1
S(logD), formes différentielles logarithmiques. Il estnaturel de se poser la question de savoir comment le système du type de Fuchs ainsi définise lie à l’équation de Fuchs au sens classique. Le théorème 3.4 répond, entre autres, à cettequestion aussi. Je tiens à noter qu’une formule hypothétique proposée par V.P. Palamodovservait de problème moteur de notre recherche. Il se demande quel opérateur différentieldoit annulerIdx(t). Notre proposition 2.4 y fournit une réponse.
A partir du chapitre 4, notre préoccupation sera l’établissem*nt d’une estimation parhaut de la multiplicité des zéros de l’intégrale hyperelliptique. C’est une démarche versune réponse raisonnable au XVIe problème de Hilbert sur le nombre des cycles limites.On prend un hamiltonien polynomial comme (1.1) (ou bien plus généralementH(x,y)=F(x, s′)− yν), et impose la condition que pour chaque valeur critiques
(i)0 (s
(i)0 = s
(j)
0 , si
i = j) F (x, s′)+ s(i)0 = 0 ait singularité du type de Morse i.e. le hessien soit non-dégénéré
à chaque point critique.Regardons un polynôme
PK,m(x, y)=L∏i=1
(x − x(i)
)ki ym, (1.3)
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ki ∈ N, m ∈ Z, tel quex(2), . . . , x(L) ne sont pas des points critiques deF(x, s′). Parcontre,x(1) peut être un point critique deF(x, s′). On noteK =∑L
i=1 ki .Puisque nous visons à établir l’estimation de la multiplicité des zéros deIω(s), précisons
la définition de cette notion.
Definition 1.1. Si une série convergente près det = t0, définit une fonction multivaluéedans un secteur∆θ = t : |t − t0|< θ ⊂C,
f (t)=∑
ρ∈Q, k∈N
fρ,k(t − t0)ρ(log(t − t0)
)kcette série s’appelle fonction de Dulac.
Nous disons qu’ une fonction de Dulac at0 comme zéro de multiplicité(k1 + 1)([ρ1] + 1) si
ρ1 = minρ;fρ,k = 0,k1 = maxk;fρ1,k = 0.
Tout au long de cet article, on comprendra la multiplicité des zéros deIω(s) commecelle des zéros d’une fonction de Dulac en variables0.
Theorem 1.2. Dans la situation ci-dessus, on considère l’intégrale hyperelliptiqueIPK,m(s) prise le long d’un cycleγs = (x, y) ∈C2: H(x,y)+ s0= 0,
IPK,m(s)=∫γs
PK,m(x, y) dx, (1.4)
avecK ∈N, m ∈ Z. SupposonsIPK,m(s) ≡ 0. Alors on a les résultats suivants.
(i) Si µ pair, la multiplicité N des zéros de l’intégraleIPK,m(s) à l’un des points de
ramificationt ∈ s(1)0 , . . . , s(µ)0 vérifie:
N 2
[K +m+µ
2
]. (1.5)
(ii) Supposons quek1 = 0 dans l’expression(1.3). Alors la multiplicitéN des zérosde l’intégrale IPK,m(s) avec µ impair, à l’un des points de ramifications0 ∈s(1)0 , . . . , s
(µ)0 vérifie:
N max
µ− 1,2
[m+ 3
2
]. (1.6)
(iii) La multiplicitéN des zéros de l’intégraleIPK,m(t) au point s0 /∈ s(1)0 , . . . , s(µ)0 ne
dépasse pasµ+K.
Pour établir le théorème, dans un contexte plus général que l’intégrale hyperelliptique,nous allons étudier l’intégrale d’Abel associée à une courbe définie par un polynôme
H(x,y)= xµ+1+ sµ−1xµ−1+ · · · + s1x − yν, µ, ν 2. (1.1′)
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Si on prend un cycle évanescent
γs ⊂(x, y) ∈C2: H(x,y)+ s0= 0
, s = (s0, s
′), (1.2′)
de la courbe et une 1-forme polynomialeω= P(x, y) dx+Q(x,y) dy, alors il est possiblede définir l’intégrale d’Abel
Iω(s)=∫γs
ω,
d’une façon analogue à l’intégrale hyperelliptique. Voir Théorème 5.1.Il est facile de déduire de (1.4), (1.5) que siµ,K,m n, alors la multiplicité des
zérosN est dominé par une fonction linéaire den. Nos résultats, donc, paraissent une
amélioration des estimations obtenues dans [7] (la multiplicité de chaque zéro n4+n2−22 )
pour autant qu’il s’agisse de l’intégrale du type (1.4).L’auteur tient à remercier L. Gavrilov qui m’a donné des cours d’initiation à ce sujet,
S. Yakovenko, J.P. Françoise, P. Mardesic et D. Novikov de leurs conseils gentils.
2. Les énoncés sur le système de Gauss–Manin associé aux singularitésAµ
On se souvient ici des résultats principaux de [2] concernant les intégrales d’Abel
Kλi (s)=
∫zi(zµ+1+ sµ−1z
µ−1+ · · · + s1z+ s0)λdz, (2.1)
i = 0, . . . ,µ+ 1.
L’intégrale (2.1) est un prototype de notre recherche, pour un hamiltonien du type(1.1)′.Notre démarche consiste en l’analyse de l’intégrale (2.1) à l’aide de l’opérateur différentielqui l’annule.
Regardons les intégrales de périodes pour une variété algébrique de dimensioncomplexe un
X(µ,ν)s = (z, y) ∈ P 2C;yν − F(z, s′)= s0
paramétrée parµ paramètres(s0, . . . , sµ−1) avec
F(z, s′)= zµ+1+ sµ−1zµ−1+ · · · + s1z.
Le polynômeF(z, s′)+ s0 donne une déformation verselle de la singularitéAµ,F(z,0)=zµ+1. Remarquons que rangH 1(X
(µ,ν)s ) = µ(ν − 1), et comme base deH 1(X
(µ,ν)s ), on
peut choisirxky( dx (0 k µ− 1, 1 ( ν − 1) (Voir [5]). Il est facile de voir quel’hom*othétie de quasihom*ogénéité agit surF(z, s′)+ s0 :
τ : (s0, . . . , sµ−1, z)→(tµ+1s0, t
µs1, . . . , t2sµ−1, tz
), t ∈R+.
Etant fixé un cycle évanescentγs ∈ H1(X(µ,ν)s ), on considère l’intégrale de périodes
comme celle définie le long d’un cycle Reg(γs) surCx un revêtement deC avecν feuilles.Si on noteλ= (
ν:
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Ixiy( dx,γs (s)=Kλi,γs
(s)=∫
Reg(γs)
zi(F(z, s′)+ s0
)λdz, (2.2)
i = 0, . . . ,µ+ 1.
Ici Reg(γs) dénote un cycle appelé régularisé, de sorte que l’intégration le long de celui-cisoit bien définie. Surtout il doit être choisi de façon queK
(/νi,γs
(s) soit aux valeurs réellespour s ∈ R et γs un cycle évanescent réel. Il est obtenu en « gonflant »γs à l’aide del’opérateur de Leray (voir 4.2. [14]). Dans notre situation Reg(γs) n’est qu’une sommedes lacets doubles de Pochhammer [3]. Grâce au théorème des résidus de Leray [4],on n’a pas besoin de se soucier de concrétiser le cycle Reg(γs), lors de l’établissem*ntdes équations différentielles satisfaites par l’intégrale (2.2). Toutes les intégrales définiespar (2.2) satisfont la même équation différentielle indépendante du cycleγs . Donc on écrirasouventKλ
i (s) au lieu deKλi,γs
(s) sinon on a besoin de préciser le cycle d’intégration.En quête d’une expression concrète des intégrales de périodes autour de ses points deramification, nous partons de la proposition suivante.
Proposition 2.1[6,8]. Les intégrales de périodesKλi (s) (0 i 2µ) de(2.2) satisfont le
système holonome suivant d’équations différentielles:
µ−1∑(=0
s(∂
∂s0Kλ(+i +
∂
∂s0Kλµ+1+i = λKλ
i , (2.3i)
0 i µ− 1,
µ−1∑(=1
(s(∂
∂s0Kλ(+j + (µ+ 1)
∂
∂s0Kλµ+1+j =−(j + 1)Kλ
j , (2.4j )
− 1 j µ− 1.
Nous avons une représentation matricielle entre les intégralesΣ · b= a, où
Σ =
s0 s1 · · · sµ−2 sµ−1 0 1 · · · 0 0 00 s0 · · · sµ−3 sµ−2 sµ−1 0 · · · 0 0 0
0 0 · · · sµ−4 sµ−3 sµ−2 sµ−1
. . . 0 0 0
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.. ..
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. · · ·...
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0 0 · · · s1 s2 s3 s4 · · · 1 0 00 0 · · · s0 s1 s2 s3 · · · 0 1 00 0 · · · 0 s0 s1 s2 · · · sµ 0 1s1 2s2 · · · (µ− 1)sµ−1 0 µ+ 1 0 · · · 0 0 0
0 s1 · · · (µ− 2)sµ−2 (µ− 1)sµ−1 0 µ+ 1. . . 0 0 0
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. · · ·...
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.. . . · · ·
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0 0 · · · s1 2s2 3s3 · · · · · · µ+ 1 0 00 0 · · · 0 s1 2s2 · · · · · · 0 µ+ 1 00 0 · · · 0 0 s1 · · · · · · (µ− 1)sµ−1 0 µ+ 1
,
a = t(λKλ
0 , λKλ1 , . . . , λK
λµ−1,0,−Kλ
0 ,−2Kλ1 , . . . ,−µKλ
µ−1
),
b = t
(∂
∂s0Kλ
0 ,∂
∂s0Kλ
1 , . . . ,∂
∂s0Kλ
2µ
).
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Remark. ∂∂si
Kλj (s)= ∂
∂sjKλi (s).
Effectivement, 2µ intégrales de périodes prennent part aux équations (2.3), (2.4), aulieu deµ intégrales. En les supprimant, on obtient les relations syzygy non-triviales entreµ intégrales de périodes.
Proposition 2.2[2]. Les intégrales
K (s)= t(K0(s), . . . ,Kµ−1(s)
), s = (s0, . . . , sµ−1),
satisfont le système holonôme suivant d’équations différentielles:
S∂
∂s0K = (L+ V (s2, . . . , sµ−1)
)K , (2.5)
où
V (s′)= 1
(µ+ 1)2
0 0 0 0 · · · 0 0
0 0 0 0 · · · 0 0
2sµ−1 0 0 0 · · · 0 0
3sµ−2 2 · 2sµ−1 0 0 · · ·...
.
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4sµ−3 3 · 2sµ−2 2 · 3sµ−1 0 · · ·...
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.. .. · · ·
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(µ− 1)s2 2(µ− 2)s3 3(µ− 3)s4 · · · (µ− 2)2sµ−1 0 0
,
ets′ = (s1, . . . , sµ−1). Les élémentsvi,j de la matriceV (s2, . . . , sµ−1) sont déterminés parla règle ci-dessous,
(j + 1)vi,j = jvi+1, j+1, v1,j = (j − 1)sµ−j+2,
1 i µ− 2, 3 j µ.
La matriceS admet une écriture comme suit,
S = s0idµ +C(s′),avec une matrice polynomialeC(s′) et une matrice diagonaleL représentant les poidsquasihom*ogènes de formes différentielles correspondants àKλ
j (s),
L= diag
(λ+ 1
µ+ 1, . . . , λ+ µ
µ+ 1
).
Nous nous servons de la notation∆µ(s) désignant un polynôme monique en lavariable s0, qui peut être considéré comme le discriminant du polynômezµ+1 +sµ−1z
µ−1+ · · · + s1z+ s0. Il est calculé par la matriceS(s) de la Proposition 2.2,
∆µ(s0, s′)= detS(s)= detΣ.
Definition 2.3. On dit ques′ ∈ Rµ−1 appartient à l’ensemble de bifurcationB ⊂ Rµ−1 siet seulement s’il existes0 ∈C tel que
∆µ(s0, s′)= ∂
∂s0∆µ(s0, s
′)= 0.
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Si s′ ∈ B l’équationF(z, s′)= t possède soit des racines multiples soit des valeurs cri-tiques multiples pour une certaine valeur de «t ». L’ensembleB est une variété algébriquedansRµ−1 de codimension 1.
Nous nous rappelons ici une relation de la matriceS avec le champ de vecteurslogarithmiques formulé par K. Saito ([11,12]).
Lemma 2.4.Si on utilise la notationS(s)= (σi,j (s))0i,jµ−1, alors les vecteursξi , i =0, . . . ,µ− 1, définis comme suit
ξi =µ−1∑j=0
σi,j∂
∂sj
constituent le champ de vecteurs logarithmiques tangent au discriminantD = ∆µ(s) =detS(s)= 0. Autrement dit,ξ0, . . . , ξµ−1 forment une base libre deDerCµ(logD) en tantqueOCµ -module.
Démonstration. Appliquer le théorème de K. Saito (1.9) [12]. Les vecteursξ0, . . . , ξµ−1forment un système involutif surOCµ , i.e. il existecki,j (s) ∈OCµ tel que
[ξi , ξj ] =µ−1∑k=0
cki,j (s)ξk.
Cette propriété peut être déduite de la formule (2.5). En plus, on aD = ∆µ(s) =detS(s) = 0. Donc ces vecteurs satisfont à la condition du théorème mentionné ci-dessus.
En suite nous considérons l’intégrale
Kλk,x0(s)=
∫Reg(γs)
xk(F(x + x0, s′
)+ s0)λdx, où x = x − x0. (2.2′)
Afin d’établir un système analogue à(2.3i) etc. pourKλk,x0(s), nous reproduisons le
raisonnement depuis la Proposition 2.1. Tout d’abord, nous avons les relations suivantes aulieu de(2.3i),
f0(x0, s′, s0
) ∂
∂s0Kλk+i,x0(s)+
µ∑(=1
f((x0, s′
) ∂
∂s0Kλk+(+i,x0(s)
+ ∂
∂s0Kλµ+k+i+1,x0(s)= λKλ
k+i,x0(s), 0 i µ, (2.3′i)
avec les polynômesf((x0, s′) := 1(! (
∂∂x)(F (x, s′)|x=x0, ( 1, et f0(x
0, s′, s0) :=F(x, s′)+ s0.
Au lieu de(2.4j ) on a,
µ∑(=1
(f((x0, s′
) ∂
∂s0Kλ(+k+j,x0(s)+ (µ+ 1)
∂
∂s0Kλµ+k+1+j,x0(s)
=−(k+ j + 1)Kλk+j,x0(s), −1 j µ− 1. (2.4′j )
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Par la suite une notation simplef( remplaceraf((x0, s′).Avant de formuler l’énoncé sur l’opérateur qui annule l’intégraleKλ
k,x0(s), on définit ledéterminant d’une matricem×m avec les composantes non-commutatives comme suit,
P(s,
∂
∂s0
)=
p0,0 p0,1 · · · p0,m−1
p1,0... · · · p1,m−1
...... · · · ...
pm−1,0 pm−1,1 · · · pm−1,m−1
,
detP(s,
∂
∂s0
):=
∑i0,i1,...,im−1
sign(i0, i1, . . . , im−1)pim−1,m−1 · · ·pi1,1pi0,0, (2.6)
pour pi,j = p1i,j (s)
∂∂s0
+ p0i,j (s), avec p1
i,j (s),p0i,j (s) ∈ R[s]. Dans (2.6), l’indice
(i0, i1, . . . , im−1) parcourt toutes les permutations de(0,1, . . . ,m−1). Dans notre situationci-dessous soitm = µ soit m = µ + 1. Par la suite on se servira de la notation∂
∂s=
( ∂∂s0
, . . . , ∂∂sµ−1
).
Proposition 2.5.(i) L’opérateur différentielP(s, ∂∂s) d’ordre µ défini ci-dessous annule
l’intégraleKλ0 (s),
P(s,
∂
∂s
)Kλ
0 (s)= 0,
où
P(s,
∂
∂s
):= det
(S
∂
∂s0−L− V (s′)
)les matricesS,L,V (s′) sont celles définies dans la Proposition2.2.
(ii) L’opérateurP (k)
x0 (s,∂∂s) d’ordre µ + 1 qui annule l’intégraleKλ
k,x0(s) de (2.2)
admet la représentation d’une manière analogue àP(s, ∂∂s),
P (k)
x0
(s,
∂
∂s
)Kλk,x0(s)= 0,
P (k)
x0
(s,
∂
∂s
)= det
(S
∂
∂s0− L− V (s′)
)+
µ∑j=1
T ′j(s,
∂
∂s
),
où les matricesS, V (s′) sont définies à partir deS,V (s′) :
S =
s0− s0 f1(x, s
′) · · · fµ−1(x, s′) fµ(x, s
′)0... S′(s)0
,
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L= diag
(λ+ k
µ+ 1, . . . , λ+ k +µ
µ+ 1
),
V (s′)= 0 · · · 0
0. . .
...
V ′(s′) 0 0
, S′(s)= Bf · S(s) ·Cf
avecBf ,Cf ∈ GL(µ,R), et V ′(s′) ∈ End(Rµ−2) ⊗ R[s′]. Ici, on notes0 = −F(x0, s′).Les opérateursT ′j (s,
∂∂s) d’ordreµ sont définis dans(2.9′) ci-dessous.
Remarque 1. L’ordre de l’opérateurP (k)
x0 (s,∂∂s), égal ൠ+ 1(> µ), s’explique par
l’existence d’un cycle de plusγ 0 qui définit Kλk,x0(s). Notonsx(j)j=1,...,µ+1 = x ∈
C: F(x, s′) + s0 = 0. Alors Kλ0 (s) a ses cycles évanescentsγ j = x(j) − x(j−1),
j = 2, . . . ,µ+ 1. Par contreKλk,x0(s) peut être défini le long d’un cyclex0− x(1) à part
des cycles évanescents associés àKλ0 (s).
Démonstration de la Proposition 2.5.Preuve de(i). Nous notons la relation (2.5) par
P(s,
∂
∂s0
)Kλ(s)=
(S
∂
∂s0−L− V (s′)
)Kλ(s)= 0.
Notons
P(s,
∂
∂s0
)= (pi,j )0i,jµ−1
avec les composantespi,j = σi,j (s)∂∂s0
+ p0i,j (s
′). Ici les σi,j (s) sont introduits dans lelemme 2.4. Selon cette notation, (2.5) s’écrit
pj,0Kλ0 (s)+ pj,1K
λ1 (s)+ · · · + pj,µ−1K
λµ−1(s)= 0, (2.7j )
0 j µ− 1.
On prend une combinaison des expressions(2.7j ),
µ−1∑j=0
sign(j, i1, i2, . . . , iµ−1)piµ−1,µ−1 · · ·pi1,1(2.7)j . (2.8)
Alors il est possible de voir que l’opérateur devantKλ0 (s) doit être égal à detP(s). D’autre
part, l’opérateur devantKλk (s) est∑
sign(i0, i1, i2, . . . , iµ−1)piµ−1,µ−1 · · ·pikk · · ·pi1,1pi0k = 0. (2.9)
Autrement dit, (2.8) coincide avec
det
(S
∂
∂s0−L− V (s′)
)Kλ
0 (s).
Ainsi on a démontré (i).
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Preuve de(ii ). Afin de trouver un opérateurP (k)
x0 (s,∂∂s) annulantKλ
k,x0(s), on part de la
relationΣ · b = a avec
a = t(λKλ
k,x0, λKλk+1,x0, . . . , λK
λk+µ,x0,−(k + 1)Kλ
k,x0,
− (k + 2)Kλk+1,x0, . . . ,−(k +µ+ 1)Kλ
k+µ,x0
),
b = t
(∂
∂s0Kλk,x0,
∂
∂s0Kλk+1,x0, . . . ,
∂
∂s0Kλk+µ,x0
),
Σ =
f0 f1 · · · fµ−2 fµ−1 fµ 1 0
0 f0 · · · fµ−3 fµ−2 fµ−1 fµ 1
0 0 · · · fµ−4 fµ−3 fµ−2 fµ−1 fµ
0 0 · · ·. . .
.
.
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.. . .
. . .
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. · · ·. . .
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.
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.. . .
. . .
0 0 · · · 0 f0 f1 f2 f3
0 f1 2f2 · · · (µ− 1)fµ−1 µfµ µ+ 1 0
0 0 f1 · · · (µ− 2)fµ−2 (µ− 1)fµ−1 µfµ µ+ 1
0 0...
.
.
.. ..
. ..
0 0 · · · 0 f1 2f2 · · · (µ− 2)fµ−2
0 0 · · · 0 0 f1 · · · (µ− 3)fµ−3
· · · 0 0 0
· · · 0 0 0
· · · 0 0 0
· · · 1 0 0
· · · fµ 1 0
· · · fµ−1 fµ 1
· · · 0 0
0 · · · 0 0
. ..
. .. 0 0
(µ− 1)fµ−1 µfµ µ+ 1 0
(µ− 2)fµ−2 (µ− 1)fµ−1 µfµ µ+ 1
.
Après des calculs analogues au casKλ, pourµ+1 intégralesKλk,x0 := t (Kλ
k,x0,Kλk+1,x0,
. . . ,Kλk+µ,x0), on voit(S
∂
∂s0− L′ − V (s′)
)Kλk,x0 = 0 (2.10)
pour
S =
s0− s0 f1(x, s
′) · · · fµ−1(x, s′) fµ(x, s
′)0... S′(s)0
,
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avecS′(s)= Bf ·S(s) ·Cf oùBf ,Cf ∈GL(µ,R) dont les composantes sont déterminéespar les coefficients defk(x0, s′), k = 1, . . . ,µ. Les autres matrices sont données commesuit :
L= diag
(λ+ k
µ+ 1, . . . , λ+ k +µ
µ+ 1
),
et
V (s′)= 0 · · · 0
0. . .
...
V ′(s′) 0 0
,
avecV ′(s′) ∈ End(Rµ−2)⊗R[s′]. De (2.10), on déduit
det
(S
∂
∂s0− L− V (s′)
)Kλk,x0(s)+
µ∑j=1
Tj
(s,
∂
∂s0
)Kλk+j,x0(s)= 0.
Ici, si on note(S ∂∂s0− L− V (s′))= (pi,j )0i, jµ, l’opérateur devantKλ
k+j,x0(s) est définicomme suit :
Tj
(s,
∂
∂s0
):=∑
sign(i0, i1, i2, . . . , iµ)piµ,µ · · · pi1,1pi0,j . (2.9′)
L’existence de l’opérateurT ′j (s,∂∂s) t.q.
T ′j(s,
∂
∂s
)Kλk,x0(s)= Tj
(s,
∂
∂s0
)Kλk+j,x0(s),
découle des relations(∂
∂s0
)Kλk+j,x0(s)=
(j∑
i=0
B(k)ji
∂
∂si
)Kλk,x0(s), 1 j µ− 1,
où lesB(k)ji sont déterminés par
j∑i=0
B(k)ji
(x + x0)i xk = xk+j .
PourKλk+µ,x0,(∂
∂s0
)Kλk+µ,x0(s)=
[−
µ−1∑j=0
(Bj
(x0)+ sj
) ∂
∂sj+ λ
]Kλk,x0(s),
où lesBj(x0) sont t.q.
(x + x0)µ − xµ =
µ−1∑j=0
Bj
(x0)( x + x0)j .
12 S. Tanabé / Bull. Sci. math. 126 (2002) 1–29
3. Une version forte du théorème d’isomonodromie
Dans cette section, nous établirons une version forte du théorème d’isomonodromie.Il s’agit de l’invariance du comportement asymptotique de l’intégraleKλ
k (s0, s′) (i.e.
celle des expopsants caractéristiques) près du point singulier (régulier)s0 = s0(s′) lors
de transition le long d’une composante stratifiée de l’ensemble critiqueD = s ∈Cµ;∆µ(s) = 0. D’après le théorème de Picard–Lefschetz et celui de Brieskorn [4], lamonodromie du système de Gauss–Manin (2.5) est identifiée à la monodromie locale dePicard–Lefschetz :
Λ∗,s• :H1(X(µ,ν)s ,C
)→H1(X(µ,ν)s ,C
), s /∈D, s• ∈D,
qui se réalise dansGL(µ,C). Ici on dénote parΛ∗,s• l’action du lacetΛ ∈ π1(Cµ \D)
autour d’un points• ∈D qui agit sur le groupe d’hom*ologie.Avant de formuler le théorème, nous précisons la notion des exposants caractéristiques.
Definition 3.1. Soit (s′, t (s′)) ∈ D = (s′, t) ∈ Cµ;Pm(t, s′) = 0, un point du lieusingulierD d’une équation différentielle du type de Fuchs(cf. [3]) :
P
(s′, t, ∂
∂s′,∂
∂t
)=[Pm(s
′, t)(d
dt
)+ Pm−1
(s′, t, ∂
∂s′,∂
∂t
)+ · · · + P0(s
′, t)]u(s′, t)= 0, (3.1)
où
Pm−j(s′, t,
∂
∂s′,∂
∂t
)=
∑α∈Nµ−1,0|α|m−j
Pm−j,α(s′, t)(
∂
∂s′
)α( ∂
∂t
)m−j−|α|avecα = (α1, . . . , αµ−1)|α| = α1 + · · · + αµ−1, (
∂∂s)α = ( ∂
∂s1)α1 · · · ( ∂
∂sµ−1)αµ−1. L’opé-
rateur du type de FuchsP(s′, t, ∂∂s ′ ,
∂∂t) est dit à multiplicitéκ le long deD près du
point (s′, t (s′)) ∈ D, si les conditions suivantes sont satisfaites pour ses coefficientsPm−j,α(s′, t). On comprend part = t (s′) l’équation locale deD. D’abord on demandeque la décomposition
Pm(s′, t)= (t − t (s′)
)κQm(s
′, t),ait lieu près de(s′, t (s′)) avecQm(s
′, t (s′)) = 0. Deuxièmement, on suppose que(t −t (s′))κ−j | Pm−j,α(s′, t) pour tout 0 j κ etα ∈Nµ−1. Alors il est possible de voir quel’expression suivante donne naissance à un polynôme enρ,
Π0(ρ, s′) = (
t − t (s′))−ρ[
P
(s′, t, ∂
∂s′,∂
∂t
)](t − t (s′)
)ρ ∣∣∣t=t (s ′)
= Qm(s′)ρ(ρ − 1) · · · (ρ −m+ 1)
+Qm−1(s′)ρ(ρ − 1) · · · (ρ −m+ 2)+ · · ·
+Qm−κ+1(s′)ρ(ρ − 1) · · ·(ρ −m+ κ)
+Qm−κ (s′)ρ(ρ − 1) · · · (ρ −m+ κ + 1), (3.2)
S. Tanabé / Bull. Sci. math. 126 (2002) 1–29 13
pour une collection de fonctions semi-algébriquesQm(s′), . . . ,Qm−κ (s′).
L’équation algébrique enρ, Π0(ρ, s′)= 0 se nomme l’équation déterminante relative
de l’opérateurP(s′, t, ∂∂s ′ ,
∂∂t) au point(s′, t (s′)).
Lemma 3.2. Au voisinage de son point singulier réguliert = t (s′), le comporte-ment asymptotique desm-solutions u1(s
′, t), . . . , um(s′, t) de l’équation du type deFuchs(3.1) est déterminé exactement(pas moduloZ) par les exposants caractéristiquesdeP(s′, t, ∂
∂s ′ ,∂∂t) à t = t (s′). Cela veut dire que commem solutions on peut prendre
uj,((s′, t)∼ (t − t (s′)
)ρj (ln(t − t (s′)))(∑
k0
a(j,()k (s′)
(t − t (s′)
)k,
0 ( Lj − 1,
oùLj est la multiplicité de racineρj dans l’équation déterminante(3.2),∑
j Lj =m. En
plusa(j,()0 = 0.
Quant à la démonstration de cet énoncé, ce n’est qu’une modification à la version enplusieurs variables (une variable plus plusieurs paramètres) des résultats classiques surl’équation du type de Fuchs. A ce propos, je renvoie les lecteurs au livre classique deCoddington–Levinson, ou d’Ince qui explique la méthode de Frobenius.
Avant de formuler le théorème d’isomonodromie, nous établirons ici un lemme et yintroduisons la notion de stratification logarithmique. Notons par DerCµ(logD)(p), p ∈Dle sous-espace vectoriel de l’espace tangentTpCµ qui consiste des valeursδ(p) de vecteurslogarithmiquesδ ∈ DerCµ(logD), introduits par K. Saito [12]. Iciδ est un vecteur àcoefficients polynomiaux tangent àD.
D’abord on définit l’ensembleD(i1, . . . , ik+1) comme un sous-ensemble deD surlequel les(k + 1)-vecteurs logarithmiquesξi1, . . . , ξik+1 ∈ DerCµ(logD) sont expriméspar ξj1, . . . , ξjµ−k−1 avecj1, . . . , jµ−k−1 = 0, . . . ,µ − 1 \ i1, . . . , ik+1. C’est-à-dire,si s ∈ D(i1, . . . , ik+1), alors il existe des fonctions semi-algébriques non nullesA
p
j((s′),
Ap
ip(s′) ∈C[s0(s′), s′], 1 p k + 1, 1 ( µ− 1, t.q.
Apip(s′)ξip (s)=
µ−k−1∑(=1
Apj((s′)ξj( (s), 1 p k + 1,
surπ(D(i1, . . . , ik+1)). Ici π : Cµs → Cµ−1
s ′ dénote la projection surCµ−1s ′ . En faitAp• (s′)
sont données par des mineurs(µ− k − 1)× (µ− k − 1) deS(s0(s′), s′).On se place dorénavant dans le complément de l’ensemble de Maxwell du poly-
nôme (2.1). L’ensemble de MaxwellM ⊂D est l’ensemble dess pour lesquels l’équationF(z, s′) + s0 = 0 possède plusieurs points critiques indépendants qui donnent la mêmevaleur critique (ex.µ= 3, s0 = s2
2/4, s1 = 0). Notons l’ensemble de Maxwell parM etDM :=D \M. L’ensemble de Maxwell lui même est stratifié.
Lemma 3.3. (i) Le point p appartient à l’ensembleDM(i1, . . . , ik+1) si et seule-ment s’il existeµ − k − 1 vecteurs linéairement indépendantsδj1(p), . . . , δjµ−k−1(p) ∈
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DerCµ(logD)(p). Cela veut dire que l’ensembleDM(i1, . . . , ik+1) est déterminé unique-ment par le nombreµ− k − 1 des vecteurs logarithmiques indépendants sur lui. On notetel ensemble parDM
(k).(ii) On a la structure de stratification comme suit:
DM =D−M(0) ⊃D−
M(1) ⊃D−
M(2) ⊃ · · · ⊃D(µ−1) = 0.
L’ensembleD(k)M est une strate de codimension un dansD−
M(k−1). A chaque point p de
la strateD(k)M , on a rang Der(logD)(p) = µ− k − 1. (La stratification logarithmique de
K. Saito,[12].)(iii ) La strateD(k)
M peut être défini par les mineurs(µ−k)× (µ−k) de la matriceS(s).
(iv) Si s ∈D(k)M , alorsF(z, s′)+ s0= 0 possède une racine d’ordrek + 2.
Remarque 2.Si on prend une strateMα de l’ensemble de Maxwell et un point sur luip ∈Mα , alors rang Der(logD)(p) > µ− 1− codimDM
α .
Démonstration. Pour démontrer l’énoncé (i), on procède par induction. Tout d’abord, pardéfinition deD(i1, . . . , ik+1) il est évident queDM(µ− 1) = DM((), ( = 0, . . . ,µ− 2.Ensuite supposons ques ∈ DM(µ − 2,µ − 1) ⊂ DM et montrons ques ∈ DM(i0, i1),pour n’importe quelle pairei0, i1 ⊂ 0, . . . ,µ− 1. L’hypothèses ∈DM(µ− 2,µ− 1)entraîne qu’il existe deux collections de fonctions semi-algébriques non nulles(c0(s
′), . . . ,cµ−1(s
′)) ∈C[s0(s′), s′] et (c′0(s′), . . . , c′µ−2(s′),0) ∈C[s0(s′), s′] telles que(
c0(s′), . . . , cµ−1(s
′)) · S(s0(s′), s′)= 0, (3.3)(
c′0(s′), . . . , c′µ−2(s′),0
) · S(s0(s′), s′)= 0, (3.3′)
pour s′ ∈ π(DM(µ − 2,µ − 1)). Et il est impossible de trouver de fonctions semi-algébriques non nulles(c′′0(s′), . . . , 0j1, . . . , 0j2, . . . , c′′µ−1(s
′)) telles que(c′′0(s′), . . . , 0j1, . . . , 0j2, . . . , c′′µ−1(s
′)) · S(s0(s′), s′)= 0, (3.4)
pour s′ ∈ π(DM(µ − 2,µ − 1)). Il faut remarquer que la dernière condition entraînequ’aucun des mineurs(µ − 2) × (µ − 2) de S(s) ne s’annule. Car si pour les indicesk0, . . . , kµ−3, 0 k0 < · · ·< kµ−3 µ− 1, les mineurs(µ− 2)× (µ− 2) s’annulenti.e.
S
(k0, . . . , kµ−3
j3, . . . , jµ
)= 0,
avecj3, . . . , jµ = 1, . . . ,µ \ j1, j2, alors on peut trouver une collection de fonctionscomme (3.4).
Revenons à la condition de dégéneréscence deµ − 1 vecteurs logarithmiques. Pourobtenir une relation linéaire non-triviale entreξ0, . . . , ξi0−1, ξi0+1, ξµ−1, il est suffisantde prendre la différence entrec′i0 (3.3) et ci0 (3.3′). Il est facile de se convaincre quetous les coefficientsc′i0c0− c′0ci0, . . . , c′i0cµ−2− c′µ−2ci0, cµ−1c
′i0
sont non nuls sauf celuicorrespondant àξi0. Car, sinon, il existe un mineur(µ− 2)× (µ− 2) dégénéré deS(s) et
S. Tanabé / Bull. Sci. math. 126 (2002) 1–29 15
on est alors dans la situation de (3.4). On a ainsi obtenu l’expression suivante avec certainesfonctionsA1
i1(s′),A1
j((s′) = 0,
A1i1(s′)ξi1
(s0(s
′), s′)= ∑
j( =i0,i1A1j((s′)ξj(
(s0(s
′), s′),
pouri1 = i0. Quant à l’expression semblable pourξi0, on prend la différence entrec′i1 (3.3)et ci1 (3.3
′). Ainsi l’énoncé (i) est démontré pourk = 1.Les démarches démandées pour accomplir la démonstration de (i) pour la strate de
codimensionk > 1 sont analogues à l’argument ci-dessus.Bien évidemment, cette démarche ne s’applique pas aux strates de Maxwell. Par
exemple la strate génériqueM(0) deM est de codimension un dansD, mais il existeµ−1vecteurs logarithmiquesξ1, . . . , ξµ−1, qui sont linéairement indépendants surM(0).
L’énoncé (ii) est un corollaire de (iii).La démonstration de l’énoncé (iii) s’appuie sur l’argument suivant. Si un des mineurs
k × k de la matriceS(s) s’annule au points ∈D alors tous les autres mineurs s’annulentaussi à ce point là. Par exemple, même si la strateD(i0, i1) est définie parµ−1Cµ−2mineurs dansD, la codimension de celui-ci dansD est égale à 1. Cela apparaît dans ladémonstration de (i). Ainsi la strateD(i0, . . . , ik, ik+1) est un ensemble de la codimensionun de la strateD(i0, . . . , ik).
Par conséquence de (iii), l’équation∆µ(s0, s′) = detS(s) = 0 possède une racine
d’ordre (k + 1)s0 = s0(s′) surD(k)
M , ce qui donne (iv) par les résultats classiques sur lediscriminant.
Maintenant nous sommes susceptibles de formuler le théorème d’isomonodoromierenforcé pour les opérateurs introduits dans la Proposition 2.5,
P(s,
∂
∂s
)= ∆µ(s)
(∂
∂s0
)µ+ Pµ−1
(s,
∂
∂s
)+ · · · + P1
(s,
∂
∂s
)+ P0(s)
= ∆µ(s)
(∂
∂s0
)µ+
∑1jµ
Pµ−j (s)(
∂
∂s0
)µ−j,
et
P (()
x0
(s,
∂
∂s
)= (s0− s0)∆µ(s)
(∂
∂s0
)µ+1
+ P(()
µ,x0
(s,
∂
∂s
)+ · · ·
+ P(()
1,x0
(s,
∂
∂s
)+ P
(()
0,x0(s)
= (s0− s0)∆µ(s)
(∂
∂s0
)µ+1
+∑
1jµ+1
∑α∈Nµ−1
P(()
µ−j+1,α,x0(s)
(∂
∂s′
)α(∂
∂s0
)µ+1−j−|α|
pour( 1.
16 S. Tanabé / Bull. Sci. math. 126 (2002) 1–29
Introduisons une structure stratifiée du lieu de ramification associé à l’opérateurP (()
x0 (s,∂∂s). Notamment nous définissons les strates,
D(k)M :=D
(k)M ∩ (s0, s′); s0= s0
, k =−1,0,1, . . . ,
D(k)M,− :=D
(k)M \ s0= s0.
Éventuellement,
D(−1)M := s0= s0 \D.
Ici et dans la suite on notes0=−F(x0, s′).
Theorem 3.4(Théorème d’isomonodromie renforcé).(i) L’équation déterminante de l’opérateurP(s, ∂
∂s) est de multiplicité constante le long
de la strateD(k)M . C’est-à-dire au voisinage de chaque point singulier(s0(s
′), s′) ∈D(k)M
Pµ(s)=∆µ(s)=(s0− s0(s
′))k+1
Qµ,k(s0, s′),
Pµ−j (s)=(s0− s0(s
′))k−j+1
Qµ−j,k (s0, s′), 1 j k + 1,
pours′ ∈ π(D(k)M ). Ici les polynômesQµ−j,k (s0, s′) sont des polynômes de degréµ−k−1
en variables0 t.q.Qµ,k(s0, s′) = 0 sur la strateD(k)
M .La même décomposition a lieu au point(τµ+1s0, τ
µs1, . . . , τ2sµ−1), τ > R+.
(ii) Pour l’opérateurP (()
x0 (s,∂∂s), sur la strateD(k)
M , on a la factorisation suivante deses coefficients:
P(()
µ+1,x0(s)= (s0− s0)∆µ(s)= (s0− s0)k+2Q(
µ+1,k,x0(s0, s′),
P(()
µ−j+1,α,x0(s)= (s0− s0)k−j+2Q(
µ+1−j,k,α,x0(s0, s′),
1 j k + 2, |α| = 0,1,
avecQ(µ+1,k,x0(s0, s
′) = 0.
Sur la strateD(k)M,−, on a la factorisation suivante pour les coefficients:
P(()
µ−j+1,α,x0(s)=(s0− s0(s
′))k−j+1
Q(µ+1−j,k,α,x0(s0, s
′),
1 j k + 1, |α| = 0,1,
avecs0(s′) = s0 etQ(µ+1,k,x0(s0, s
′) = 0.
(iii ) Les exposants caractéristiques de l’opérateurP(s, ∂∂s) au point singulier(s0(s′),
s′) ∈D(k)M ⊂DM ne changent pas lors de la translation du point(s0(s
′), s′) vers un autre
point (s0(t ′), t ′) ∈D(k)M ⊂DM le long de la strateD(k)
M ⊂DM . D’une façon analogue, les
exposants caractéristiques deP (()
x0 (s,∂∂s) ne changent pas lors de la translation le long des
stratesD(k)M ,D
(k)M,− ⊂DM .
S. Tanabé / Bull. Sci. math. 126 (2002) 1–29 17
Remarque 3.C’est un énoncé renforcé d’une assertion du type suivant : « La représen-tation du groupe de monodromie autour du pointx dansGL(µ,C) ne change pas lors dela translation le long d’une strate de l’ensemble critique sur laquelle se trouve le point dedépartx ».
Cette assertion découle d’un théorème bien connu de E. Brieskorn (Satz 1, III,[4]) « La monodromie de l’opérateur différentiel singulier∇f,x peut être identifié avecla monodromie locale de Picard–Lefschetz def (z) = F(z, s′) (chez nousF(z, s′) =zµ+1+ sµ−1z
µ−1+ · · · + s1z) à x =−s0 ». La version de Picard–Lefschetz par F. Phampour l’intégrand ramifié ([9,14]) permet d’identifier la monodromie de Picard–Lefschetzgénéralisée avec la monodromie de l’opérateur différentiel qui annule les intégralescorrespondantes (i.e. chez nousS ∂
∂s0− L − V (s′)). L’invariance des exposants de
monodromie le long de la strateµ= const est connue depuis Varchenko [13]. Pour autantqu’il s’agisse de l’intégrale (2.1),(2.2′), notre théorème est une version forte de celuide Varchenko, car nous constatons l’invariance deµ (ou bienµ + 1) exposants pourchaque intégraleIω(t), pourtant Varchenko a démontré l’invariance du minimum de cesµ
exposants.
Démonstration du Théorème 3.4.D’abord on montre l’énoncé (i).Nous commençons par l’énoncé sur la multiplicité dePµ−j (s). L’énoncé sur la
multiplicité de Pµ(s) est une conséquence immédiate de la Proposition 2.5 et duLemme 3.3. Pour démontrer l’énoncé pourPµ−j (s), j > 0, nous modifions la matriceP(s, ∂
∂s0)= (S ∂
∂s0−L− V (s′)) en une autre matrice
PI(s,
∂
∂s0
), I = (i1, . . . , ij )⊂ 0,1, . . . ,µ− 1,
dont leiγ -ème rayon est remplacé par(0,0, . . . ,0, 1iγ ,0, . . . ,0), γ = 1, . . . , j . D’après laProposition 2.5(i) on voit quePµ−j,0(s, ∂
∂s0) est une somme de termes d’ordreµ− j des
opérateurs detPI (s, ∂∂s0
), I ∈ |I | = j ; I ⊂ 0,1, . . . ,µ− 1. Cet argument entraîne que le
coefficient dePµ−j (s, ∂∂s0
) peut être exprimé par une somme de mineurs(µ− j)× (µ− j)
de la matriceS(s).PuisqueS(s)= s0idµ + C(s′), et rankS(s)= µ− 1− k pours ∈D(k)
M , la matriceS(s)
est diagonalisable pours assez proche deD(k)M . L’absence de blocs de Jordan non-triviaux
est garantie par le Lemme 2.4. Autrement dit, il existe une matriceB(s′) ∈ GL(µ,C[s′])surπ(D(k)
M ) telle que,
B(s′)−1S(s)B(s′)= diag(s0− s0,1(s
′), . . . , s0− s0,1(s′), s0− s0,2(s
′), . . . ,s0− s0,µ−k−1(s
′))
où s0,i(s′) = s0,j (s′) si i = j , le termes0− s0,1(s
′) apparaîtk + 1 fois.Évidemment, les mineurs(µ−j)×(µ−j) de la matriceB(s′)−1S(s)B(s′) contiennent
le facteur(s0− s0,1(s′))k−j+1, 0 j k + 1. Ici on se souvient de la formule de Binet–
Cauchy qui exprime les mineursp × p d’une matriceAB au moyen des mineursp × p
des matricesA etB,
18 S. Tanabé / Bull. Sci. math. 126 (2002) 1–29
S
(i1, . . . , ip
j1, . . . , jp
)=
∑1k1<···<kpµ,1(1<···<(pµ
B
(i1, . . . , ip
k1, . . . , kp
)
× (B−1SB)( k1, . . . , kp
(1, . . . , (p
)(B−1)( (1, . . . , (p
j1, . . . , jp
).
On en déduit que les mineurs(µ− j)× (µ− j) de la matriceS(s) aussi contiennent lefacteur(s0− s0,1(s
′))k−j+1. Ainsi on a démontré
Pµ−j (s)=(s0− s0,1(s
′))k−j+1
(polynôme de degréµ− k − 1 ens0),
0 j k + 1.
Ceci achève la démonstration de (i) pour(= 0.Démonstration de(iii ) pour ( = 0. Puisque la strateD(k)
M constitue en plusierscomposantes disjointes la démonstration sera divisée en deux étapes. Chaque composanteest rétractible par l’action de quasihom*ogéneité,
τ : (s0, . . . , sµ−1)→(tµ+1s0, t
µs1, . . . , t2sµ−1
), t ∈C×. (3.5)
Etape1. Invariance sur une composante.Supposons que les deux points(s0,1(s
′), s′), (s0,1(t ′), t ′) ∈D(k)M à petite distanceε l’un
de l’autre.Grâce à l’énoncé (i), on a les équations déterminantes correspondant à ces points
(voir (3.2)) :
Π0(ρ, s′) = ρ(ρ − 1) · · · (ρ −µ+ k + 2)Q(ρ, s′), (3.6)
Π0(ρ, t′) = ρ(ρ − 1) · · · (ρ −µ+ k + 2)Q(ρ, t ′), (3.7)
oùQ(ρ, s′) un polynôme de degré(k+ 1) enρ. Il est évident que les deux équations (3.6)et (3.7) possèdent les racines communesρ = 0,1,2, . . . ,µ− k − 2. Par contre, chacunea des racinesρµ−k−1(s
′) · · · ρµ−1(s′) et ρµ−k−1(t
′) · · · ρµ−1(t′) qui peuvent
être différentes, mais pour certain petitδ(ε) > 0,∣∣ρj (t ′)− ρj (s′)∣∣< δ(ε). (3.8)
D’après le théorème de E. Brieskorn–F. Pham cité ci-dessus (Remarque 3), on sait que
eiρµ−k−1(s′) = eiρµ−k−1(t
′), . . . ,eiρµ−1(s′) = eiρµ−1(t
′).
Ça veut dire que le racineρj (s′) doit être à distance entière deρj (t ′). La continuité (3.8)entraîne l’invariance des racines elles-mêmes lors de la transition(
s0(s′), s′
)→ (s0(t
′), t ′) ∈D(k)
M ,
i.e.
ρµ−k−1(s′)= ρµ−k−1(t
′), . . . , ρµ−1(s′)= ρµ−1(t
′).Etape2. Aux points en symétrie.L’appartenance d’un point(s′, s0(s′)) àD(k)
M veut dire qu’il existe un polynômeq(z− z)
de degréµ− k − 1, tel queq(0) = 0 et
F(z, s′)+ s0(s′)= (z− z)k+2q(z− z),
S. Tanabé / Bull. Sci. math. 126 (2002) 1–29 19
pour certainz ∈C. Grâce à la rétraction (3.5) et l’étape 1, il suffit de vérifier la coincidencedes exposants caractéristiques à des points avecs0 = 1 se trouvant sur les diversescomposantes.
Notons zu = −ωu, 0 u k + 1, pourω = ei 2π ik+2 . On remarque qu’il existe deux
écritures pourF(z, s′)+ 1 à ces points i.e.
F(z, s′)+ 1 = (z− zu)k+2(qµ−k−1,u(z− zu)
µ−k−1+ · · · + q1,u(z− zu)+ q0,u)
= zµ+1+ sµ−1,uzµ−1+ · · · + s1,uz+ 1.
Si on regarde les dérivées( ∂∂z)iF (z, s′), 0 i µ+ 1, et si on compare les résultats de
deux expressions ci-dessus, on obtient des équations linéaires entre(q0,u, . . . , qµ−k−1,u)
et (s1,u, . . . , sµ−1,u). En résolvant ces équations, on obtientsj,u = ωu(µ−j+1)sj,0 etqµ−k−j,u = ωu(j−1)qµ−k−j,0. Cela veut dire queD(k) possèdek+2 composantes connexesqui sont représentées par
du = (1, s1,u, . . . , sµ−1,u)=(1,ωuµs1,0,ω
u(µ−1)s2,0, . . . ,ω2usµ−1,0
),
0 u k + 1.
Parmi les exposants en question, uniquement lesk + 1 exposants non-entiers importentcar les autres sont forcément0,1, . . . ,µ− k − 2 pour tous lesdu. Donc, en vertu de laProposition 2.5, afin de comparer les exposants aux pointsdu, 0 u k + 1, il suffit decomparerρ(i)u des intégrales ci-dessous
I (i)u (t)=∫
Reg(δi,u(t))
(F(z, s′)+ 1− t
)λdz∼ v
(i)0,ut
ρ(i)u(1+O
(t
1k+2)).
Ici δi,u(t) le cycle évanescent qui converge verszu lorsquet → 0,1 i k + 1. On peutsupposer queδi,u(t)= ωu · δi,0(t). Pour analyser les exposantsρ
(i)u , faisons le changement
de variable analytiquez→Zu près dez= zu
Zu =w1,u(z− zu)+∑i2
wi,u(z− zu)i
tel queF(z, s′)+ 1=Zk+2u . Ceci est possible vu que
1
(k + 2)!(∂
∂z
)k+2−jF (zu, s
′)= δ0,j q0,u.
Alors
I (i)u (t)=∫
Reg(δi,u(t))
(Zk+2u − t
)λ(∂Zu
∂z
)−1
dZu ∼∑j0
v(i)j,ut
λ+ 1+jk+2 ,
où δi,u(t) est l’image du cycleδi,u(t) par le changement du variablez→ Zu.Il faut remarquer que les coefficients du changement du variablewi,u sont des fonctions
quasihom*ogènes deq0,u, . . . , qµ−k−j,u. Notamment
wi,u
(τµ−k−1q0,u, τ
µ−k−2q1,u, . . . , τqµ−k−2,u)= τ−iwi,u(q0,u, . . . , qµ−k−2,u).
20 S. Tanabé / Bull. Sci. math. 126 (2002) 1–29
On peut déduire de la quasi hom*ogénéité,
wi,u(q)= ω−uiwi,0(q).
Par conséquence, les coefficients du développement deI(i)u (t) aussi satisfont la relation
analogue :
v(i)j,u =
(ωu)βi v(i)j,0,
pour certainsβ ∈Q. Ce dernier entraîne que(ρ(1)u , . . . , ρ(k+1)
u
)= (ρ(1)0 , . . . , ρ(k+1)0
)pour tous lesu, 1 u k + 1.
Ceci achève la démonstration de l’étape 2.Le casP (()
x0 (s,∂∂s), ( 1. Pour voir que le terme d’ordre maximalµ+ 1 de l’opérateur
P (()
x0 (s,∂∂s) est égal à(s0− s0)∆µ(s) il suffit de remarquer dans la Proposition 2.5(ii),
detΣ = (F(x0, s′)+ s0)∆µ(s)= (s0− s0)∆µ(s).
On peut voir d’après la construction de l’opérateurP (()
x0 (s,∂∂s) que la longueur de
l’indice |α| prend uniquement les deux valeurs 0 et 1. La partie det(S ∂∂s0
− L − V (s′))produit les opérateurs avecα = 0, pourtant lesT ′r (s, ∂
∂s) produisent ceux avecα = ei =
(0, . . . ,0, 1i ,0, . . . ,0). Une égalité évidente se déduit de la même proposition,mineurs(j × j) deS′(s)
= mineurs(j × j) deS(s), 1 j µ+ 1.
Donc, le raisonnement sur la multiplicité du facteur(s0 − s0,1(s′))k−j+1 dans les
coefficientsP (()
µ−j,0,x0(s), est parallèle à celui dePµ−j .
Quant à la multiplicité deP (()
µ−j,ei ,x0(s), elle est déterminée par les coefficients de
T ′r (s, ∂∂s) i.e. ceux de l’opérateurTr(s, ∂
∂s0) introduit dans(2.9)′. De cette définition il est
possible de voir que
P(()
µ−j,ei ,x0(s)=(s0− s0,1(s
′))k−j+1
(polynôme de degréµ− k − 1 ens0),
1 j k + 1,
sur la strateD(k)M .
C’est-à-dire, un point de(s′, s0(s′)) ∈D(k)M appartient à la strateD(k)
M =D(k)M ∩s0= s0
si et seulement si(s0 − s0)k−j+2 | P (()
µ−j+1,α,x0(s′, s0) pour s′ t.q. s0(s′)= s0, et 1 j
k + 1. Le résultat sur la strateD(k)M,− s’en déduit aussi immédiatement.
Quant à l’énoncé (ii), il suffit d’écrire de nouveau l’équation déterminante comme (3.6),(3.7), et appliquer le même argument.Remarque 4.(i) Soit s0 = s0 = −F(x0, s′) un point singulier de l’opérateurP (()
x0 (s,∂∂s)
t.q. (s′, s0) ∈D(−1)M . En dépit de la présence de singularités, pour∆j = ξ(j)− ξ(j−1), j =
2, . . . ,µ + 1, un cycle évanescent deF(x, s′) + s0 = 0, Kλk,x0,∆j
(s) est holomorphe au
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point s0 = s0. Autrement dit,Kλk,x0,γ j (s) ne se ramifie qu’auxµ points deDM . Cela
découle du fait que l’indice d’intersection entre le cycleγ 0 introduit dans Remarque 1(iii)etγ j est égal à 0.
(ii) Si on obtient ρ1, . . . , ρµ+1 comme exposants caractéristiques deP (()
x0 (s,∂∂s) à
s0= s0(s′), il existe un cycleγi ∈H1(X
(µ,ν)s ,C), tel que∫
Reg(γi)
(x − x0)k(F(x, s′)+ s0
)λdx ∼
∑j0
a(k)i,j
(s0− s0(s
′))ρi+j .
4. Calcul des exposants caractéristiques
Dès qu’on a établi le théorème d’isomonodromie (Théorème 3.4) le long des stratesD
(k)M,−, D
(k)M il est possible de calculer l’équation déterminante des exposants pours′ ∈
D(k)M,− etc. à l’autre points′• ∈ D
(k)M,− etc. pour lequel le calcul se facilite. Le lieu de
ramification de l’intégraleKλ0 (s) est simplement stratifié par les stratesD(k)
M,−. Quant
à Kλk,x0,γ
(s), son lieu de ramification a des stratesD(k)M,−, D
(k)M . Dès que on a posé la
condition queF(x, s′) de (1.1) n’ait que la singularité du type de Morse, on se restreintaux strates de typesD(0)
M,−, D(0)M qui peuvent être représentées par les points suivants :
(s0, s1,0, . . . ,0) ∈D(0)M,−, s1 = 0, ∆µ(s0, s1,0, . . . ,0)= 0,
(s0,0, s2,0, . . . ,0) ∈ D(0)M , s2 = 0, ∆µ(s0,0, s2,0, . . . ,0)= 0.
Ici on remarque que(s0,0, s2,0, . . . ,0) appartient à l’ensemble de bifurcation siµ estimpair. Ce cas sera donc exclu dans les calculs suivants.
La propostion ci-dessus sert de base à l’analyse asymptotique de l’intégraleKλk,x0(s)
près de ses points de ramification. Par la suite on noteraKλk (s)=Kλ
k,0(s), avecx0= 0.
Proposition 4.1.L’intégrale de périodesKλ0 (s0, s1,0, . . . ,0) (noté désormaisKλ
0 (s0, s1))
satisfait l’équation du type de Fuchs de degréµ.[µ−1∏j=0
(ϑs0 − (j + j − λ)+ s1
µ+ 1ψµ
]Kλ
0 (s0, s1)= 0. (4.1.)
En revanche, les intégralesKλk (s0, s1), définies parallèlement àKλ
0 (s0, s1), satisfont leséquations suivantes:[
(ϑs0 − (k−1+µ− 1− λ)
µ−1∏j=0
(ϑs0 − (k+j + j − λ)
+ s1
µ+ 1ψµ(ϑs0 − k − 1− λ)
]Kλk (s0, s1)= 0. (4.2)
22 S. Tanabé / Bull. Sci. math. 126 (2002) 1–29
Supposonsµ= 2m+ 2. Alors les opérateurs différentiels qui annulentKλj (s0,0, s2,0),
0 j µ− 1, sont d’ordre(µ+ 1) :
S0,j−1(ϑs0 +µ− 1− j,λ)T0,m−1(ϑs0 +m− j + 1, λ)
× Sj,m(ϑs0 − j,λ)
(ϑs0 −
(λ+ µ
µ+ 1
)+µ− 1− j
)×K2j (s0,0, s2,0)
=(
2s2ν + 2
)2
φ2m+1(ϑs0 −
(λ+ 1
2+ j
))K2j (s0,0, s2,0), (4.32j,0)
T0,j−1(ϑs0 + ν − j,λ)S0,m−1(ϑs0 +m− j + 1, λ)
× Tj,m(ϑs0 −m,λ)
(ϑs0 −
(λ+ µ− 1
µ+ 1
)+µ− j − 2
)×K2j+1(s0,0, s2,0)
=(
2s2µ+ 1
)φ2m+1
(ϑs0 −
(λ+ j +m+ 3
2
))×K2j+1(s0,0, s2,0). (4.32j+1,0)
Ici on a adopté la notation
ϑs0 = s0∂
∂s0, ψ =− µ
µ+ 1s1
∂
∂s0,
φ =−µ− 1
µ+ 1s2
∂
∂s0, (j = j + 1
µ+ 1,
Sα,β(X,λ)=β∏
(=α
(X−
(λ+ −(µ− 1)(+ 1
µ+ 1
)),
Tα,β(X,λ)=β∏
(=α
(X−
(λ+ 2− (µ− 1)(
µ+ 1
)).
Démonstration. Le principe du calcul s’appuie soit sur la Proposition 2.4, soit sur uncalcul pareil à celui de [1], Prop. 2.2, 2.4. Voir aussi [2].
Il est facile de voir qu’un changement des variables,
t0= s0
µ, t1=− s1
µ+ 1,
transforme les équations dans une écriture plus légère des équations (4.1), (4.2).[µ−1∏j=0
(ϑt0 − (j + j − λ)− tµ+11
(∂
∂t0
)µ]Kλ
0 (t0, t1)= 0, (4.1′)
S. Tanabé / Bull. Sci. math. 126 (2002) 1–29 23
[(ϑt0 − (k−1+µ− 1− λ)
µ−1∏j=0
(ϑt0 − (k+j + j − λ)
− tµ+11
µ+ 1
(∂
∂t0
)µ(ϑt0 − k − 1− λ)
]Kλk (t0, t1)= 0. (4.2′)
Ici on a notéKλk (t0, t1), les intégrales de périodes, après le changement de variables
ci-dessus (un abus de notation).Ensuite, on calcule les exposants caractéristiques des équations(4.1′), (4.2′) à leurs
points singuliers. D’abord on détermine les points singuliers de ces équations. Dans ce butregardons le symbole principal des opérateurs.
On remarque facilement
le symbole principal de(4.1′) est(tµ0 − 1
)σ
(∂
∂t0
)µle symbole principal de(4.2′) estt0
(tµ0 − 1
)σ
(∂
∂t0
)µ+1
si on fixet1 à une valeur non nulle convenablement choisie. Donc les points singuliers ré-guliers de(4.1′)= 1,ω,ω2, . . . ,ωµ−1,∞, celles de(4.2′)= 0,1,ω,ω2, . . . ,ωµ−1,∞avecω = e2π i/µ. Grâce à la remarque 4(i), l’intégraleKλ
k,γ (t0, t1) se ramifie hors det0= 0 pourγ le cycle évanescent en question.
Proposition 4.2. Les exposants caractéristiques de(4.1′) au point singuliert0 = ωj ,
0 j µ− 1 (correspondant à un point de la strateD(0)M,−) sont comme suit:
ρ = 0,1, . . . ,µ− 2,1
2+ λ.
Les exposants caractéristiques de(4.2′) au point singuliert0= ωj , 0 j µ − 1(correspondant àD(0)
M,−) :
ρ = 0,1, . . . ,µ− 1,1
2+ λ.
Au pointt0= 0,
ρ = 0,1, . . . ,µ− 1, λ+ k + 1.
Au point singuliert0=+∞ :
ρ = µj − (k + 1)
µ+ 1− λ, 0 j µ.
Les exposants sont rangés de sorte que leur somme soit égale àµ2(µ+1)2 (relation de
Riemann–Fuchs).Les exposants caractéristiques de(4.32j,0) au point singuliert0 = 0 (correspondant à
D(0)M ) :
ρ = 0,1, . . . ,2m,λ+ j + 1
2.
24 S. Tanabé / Bull. Sci. math. 126 (2002) 1–29
Les exposants caractéristiques de(4.32j+1,0) au point singuliert0= 0 (correspondant
à D(0)M ) :
ρ = 0,1, . . . ,2m,λ+ j +m+ 3
2.
Démonstration. La preuve s’appuie sur les calculs formels d’après les équations(4.1′),(4.2′), (4.3) et la définition des exposants caractéristiques.
Pour obtenir l’équation relative de(4.2′) aux pointst = t0= ωj , il faut savoir compterles exposants caractéristiques de l’opérateur
(ϑt + α0) · · · (ϑt + αµ)− ∂µt (ϑt + γ )
= t (tµ − 1)∂µ+1t +
[(µ(µ+ 1)
2+ α0+ · · · + αµ
)tµ − γ −µ
]∂µt
+ des termes de bas ordre.
La seconde égalité découle des formules :
(ϑt + α0) · · · (ϑt + αµ)
= tµ+1∂µ+1t +
(µ(µ+ 1)
2+ α0+ · · · + αµ
)tµ∂
µt + · · · ,
∂µt (ϑt + γ )= (ϑt + γ +µ)∂
µt .
En appliquant la définition 3.1, on obtient l’équation relative
ρ(ρ − 1) · · · (ρ −µ+ 1)
(µ(ρ −µ)+ µ(µ+ 1)
2+
µ∑j=0
αj − γ −µ
)= 0.
Afin de s’adapter à(4.2′), on met αj = µµ+1j − λ − k+1
µ+1, 0 j µ − 1, αµ =−λ+µ− 1− k
µ+1, γ =−λ− k− 1. En somme on obtient les exposants caractéristiquesénoncés.
D’une façon analogue, on calcule les exposants caractéristiques de(4.1′) à t = ωj àl’aide de
(ϑt + α0) · · · (ϑt + αµ−1)− ∂µt
= (tµ − 1)∂µt +(µ(µ− 1)
2+ α0+ · · · + αµ−1
)tµ−1∂
µ−1t
+ des termes de bas ordre.
Dans ce cas l’équation relative est
ρ(ρ − 1) · · · (ρ −µ+ 2)
(µ(ρ −µ+ 1)+ µ(µ− 1)
2+
µ−1∑j=0
αj
)= 0.
Tous les autres cas se déduisent immédiatement de (4.3).L’énoncé suivant découle d’un résultat classique de Picard [9,10].
S. Tanabé / Bull. Sci. math. 126 (2002) 1–29 25
Proposition 4.3.(i) Soit∆j le cycle évanescent qui correspond à la valeur critiquet = ωj
de l’intégraleKλ0 (t). Soit∆j+1 un autre cycle tel que〈∆j,∆j+1〉 = 0. Alors la matrice de
monodromie de Picard–Lefschetz autour du point singuliert0= ωj , s’écrit sous la formesuivante:[
Kλk,∆j
(e2π i(t − t0)+ t0
)Kλk,∆j+1
(e2π i(t − t0)+ t0
)]= [e2π(λ+ 12)i 0
e2π(λ+ 12)i 1
][ Kλk,∆j
(t)
Kλk,∆j+1
(t)
]. (4.4)
Pour les intégrales de(4.2′), (4.32j,0), (4.32j+1,0) la matrice de monodromie autour dupoint t = 0 s’écrit comme(4.4).
(ii) On a comportement asymptotique près det = t0= ωj comme suit.Siλ+ 1
2 /∈ Z
Kλk,∆j
(t)=Ak(t − t0)λ+ 1
2(1+ hol(t − t0)
),
Kλk,∆j+1
(t)=Ak(t − t0)λ+ 1
2(1+ hol(t − t0)
)+ hol(t − t0), (4.5)
avecAk = 0.Siλ+ 1
2 ∈ Z, on a le comportement asymptotique(4.5) pourKλk,∆j
(t), et
Kλk,∆j+1
(t)=Ak(t − t0)λ+ 1
2 log(t − t0)(1+ hol(t − t0)
)+ hol(t − t0). (4.6)
(iii ) Pourµ pair, on a comportement asymptotique près det = 0 comme suit.Si k pair etλ+ 1
2 /∈ Z,
Kλk,∆j
(t)=Aktλ+ 1+k
2(1+ hol(t)
),
Kλk,∆j+1
(t)=Aktλ+ 1+k
2(1+ hol(t)
)+ hol(t). (4.7)
Si k impair etλ+ 12 /∈ Z,
Kλk,∆j
(t)=Aktλ+µ+k
2(1+ hol(t)
),
Kλk,∆j+1
(t)=Aktλ+µ+k
2(1+ hol(t)
)+ hol(t). (4.8)
Dans les cas oùλ+ 12 ∈ Z, il faut modifier le développement asymptotique deKλ
k,∆j+1(t)
comme dans(4.6).
5. Démonstration du Théorème 1.2
Ici on démontre le théorème suivant qui implique immédiatement le théorème 1.2, si onmetν = 2.
Theorem 5.1.Dans la situation(1.1′), on considère l’intégrale d’AbelIPK,m(s) prise lelong d’un cycleγs = (x, y) ∈C2: H(x,y)+ s0= 0,
IPK,m(s)=∫γs
PK,m(x, y) dx, (5.1)
avecK ∈N, m ∈ Z. SupposonsIPK,m(s) ≡ 0. Alors on a les résultats suivants.
26 S. Tanabé / Bull. Sci. math. 126 (2002) 1–29
(i) Si µ pair, la multiplicitéN des zéros de l’intégraleIPK,m(s) à l’un des points de
ramificationt ∈ s(1)0 , . . . , s(µ)0 vérifie:
N 2
[m
ν+ K +µ
2
]. (5.2)
(ii) Supposons quek1= 0 dans l’expression(1.3). Alors la multiplicitéN des zéros del’intégrale IPK,m(s) avecµ impair, à l’un des points de ramifications0 ∈ s(1)0 , . . . , s
(µ)0
vérifie:
N max
µ− 1,2
[m
ν+ 3
2
]. (5.3)
(iii ) La multiplicitéN des zéros de l’intégraleIPK,m(t) au points0 /∈ s(1)0 , . . . , s(µ)0 ne
dépasse pasµ+K.
Pour démontrer le Théorème 5.1, il faut déjà quelques lemmes élémentaires. Lesnotations sont celles des chapitres précédents.
Lemma 5.2.Soientx(2), . . . , x(L) les points non-critiques de l’applicationx→ F(x, s′).Alors l’égalité suivante a lieu entre les deux intégrales
IPK,m(x,y),Γ (s) =((
∂
∂s0
)−1∂
∂f1(x(2), s′)
)k2
· · ·((∂
∂s0
)−1 ∂
∂f1(x(L), s′)
)kLI(x−x(1))k1ym,Γ (s).
Ici
∂
∂f1(x(i), s′)= 1
|grads ′f1(x(i), s′)|µ−1∑j=1
∂
∂sjf1(x(i), s′
) ∂
∂sj,
et
f1(x(i), s′
)= ∂
∂xF(x, s′)
∣∣x=x(i) .
Où l’action de( ∂∂s0
)−1 sur la fonction de Dulac définie par l’expansion asymptotique prèsdu point s0 = x dans un secteur simplement connexe du plan complexeCs0 est donnéed’une façon suivante:(
∂
∂s0
)−1[(s0− x)ρ
(∑j0
aj (s0− x)j)]
= (s0− x)ρ(∑j0
aj
ρ + j + 1(s0− x)j+1
).
Démonstration. On a le développement analogue à(2.3′) en(x − x(i)),
F(x, s′)= (x − x(i))µ+1+
µ∑(=1
f((x(i), s′
)(x − x(i)
)( + F(x(i), s′
).
S. Tanabé / Bull. Sci. math. 126 (2002) 1–29 27
De celui-ci, il est facile de voir
∂
∂f1(x(i), s′)
∫Γ
(x − x(1)
)k1(F(x, s′)+ s0
)λdx
= ∂
∂s0
∫Γ
(x − x(i)
)(x − x(1)
)k1(F(x, s′)+ s0
)λdx, i = 2,3, . . . .
De ce dernier, on déduit la relation désirée.On notera dans la suite la strateD(0)
M ∩(s′, s0); s0=−F(x(1), s′) parD(0)M,1. C’est une
strate analogue àD(0)M .
Lemma 5.3.Si l’intégrale I(x−x(1))k1ym,Γ (s) admet un développement asymptotique près
du point de ramifications0= s0(s′), (s′, s0(s′)) ∈D(0)
M ,
I(x−x(1))k1ym,Γ (s) ∼∑j0
a(k1)j (s′)
(s0− s0(s
′))ρ+j
+∑j0
a(k1)j,1 (s′)
(s0− s0(s
′))ρ+j log
(s0− s0(s
′)),
avec a(k1)0 (s′) · a(k1)
0,1 (s′) = 0 sur la strateD(0)
M,− (ou D(0)M,1), alors le développement
asymptotique ci-dessous a lieu:
I(x−x(1))k1(x−x(i))ym,Γ (s) ∼∑j0
a(k1)i,j (s′)
(s0− s0(s
′))ρ+j
+∑j0
a(k1)i,j,1(s
′)(s0− s0(s
′))ρ+j log
(s0− s0(s
′)),
aveca(k1)i,0 (s′) · a(k1)
i,0,1(s′) = 0, sur la strateD(0)
M,− (ouD(0)M,1).
Démonstration. D’après le Lemme 5.2, on a le développement asymptotique suivant :((∂
∂s0
)−1∂
∂f1(x(i), s′)
)I(x−x(1))k1ym,Γ (s)
∼ a(k1)0 (s′)
(− ∂
∂f1(x(i), s′)s0(s
′))(
s0− s0(s′))ρ
+ a(k1)0,1 (s
′)(− ∂s0(s
′)∂f1(x(i), s′)
)(s0− s0(s
′))ρ log
(s0− s0(s
′))
+ 1
ρ + 1
(∂
∂f1(x(i), s′)a(k1)0 (s′)
)(s0− s0(s
′))ρ+1+ · · · .
Donc l’énoncé désiré est réduit à l’inégalité,
∂
∂f1(x(i), s′)s0(s
′) = 0.
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II est facile de voir que ∂
∂f1(x(i),s ′) , considéré comme un champ de vecteur dansCµ
s ,
ne peut pas être un champ de vecteurs logarithmique i.e.∂∂f1(x
(i),s ′) /∈ DerCµs(logD).
Cela découle du fait que les éléments de DerCµs(logD) sont à coefficients polynomiaux
quasihom*ogènes (voir la Proposition 2.2, le lemme 2.4) avec des poids quasihom*ogènespositifs, par contre ∂
∂f1(x(i),s ′) est à coefficients constants de poids négatif. C’est- à-dire que
le vecteur normal à la surfaces0= s0(s′) (i.e.D(0)
M ) dansCµs n’est pas normal à ∂
∂f1(x(i),s ′) .
On en déduit que
1
|grads ′f1(x(i), s′)|⟨(
0, f1(x(i), s′
)),(1,grads ′s0(s
′))⟩
= ∂
∂f1(x(i), s′)s0(s
′) = 0. En répétant l’argument du Lemme 5.3, pour chaque point de ramification(s′, s0(s′)) ∈
D(0)M , on obtient l’énoncé suivant.
Proposition 5.4.La multiplicité des zéros deI(x−x(1))k1ym,Γ (s) ≡ 0 est égale à celle des
zéros de l’intégraleIPK,m(x,y),Γ (s) à chaque point de ramification de la strateD(0)M,− ou
D(0)M,1, si x(2), . . . , x(L) ne sont pas des points critiques deF(x, s′).
Pour savoir le comportement asymptotique de l’intégrale
I(x−x(1))k1 ···(x−x(L))kLym,Γ (s)
près de la strateD(0)M , il suffit de savoir celui deI(x−x(1))k1ym,Γ (s).
Démonstration du Théorème 5.1.Pour estimer la multiplicité des zéros deIPK,m(x,y),Γ (s),d’abord on estime les exposants caractéristiques aux points de ramification de la strateD
(0)M , à l’aide de la Proposition 4.2 et de la Proposition 5.4. Dans le cas oùIPK,m(x,y),Γ (s)
est holomorphe às0 = s(j)0 pour un certainj , notre argument d’estimation ci-dessous est
toujours valable. Ici on considère le cas du nombre maximal(= µ) de points de ramifica-tion.
La contribution maximaleρ des exposants caractéristiques à chaque point est classifiéecomme suit.
(I) casµ pairAu point s0= s
(1)0 , correspondant au point de la strateD
(0)M,1,
si k1 pairρ = mν+ k1+1
2 ,
si k1 impairρ = mν+ k1+µ
2 .
A chaque points0= s(i)0 , i = 2, . . . ,µ, correspondant au point de la strateD
(0)M,−, ρ =
mν+ 1
2.(II) casµ impairDans ce cas là, on ne sait que des exposants caractéristiques au point de la strateD
(0)M,−,
dont le maximum est toujours égal àρ = mν+ 1
2.
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D’après la Définition 1.1 et la Proposition 5.4, la multiplicitéN des zéros de l’intégralepeut être estimé par 2ρ si ρ ∈ Z et par[ρ] + 1 siρ /∈ Z.
De la liste ci-dessus se déduit immédiatement l’énoncé (i), (ii) du Théorème 5.1.Quant à l’énoncé (iii), on utilise le fait queI(x−x(1))kym,Γ (s) satisfait une équation
différentielle aux singularités régulières de degréµ+ 1, P (k)
x(1)(s, ∂
∂s) (voir la Proposi-
tion 2.5(ii)). Cela veut dire que les exposants caractéristiques deP (k)
x(1)(s, ∂
∂s) au point hors
discriminantD doivent être0,1, . . . ,µ où la solutionI(x−x(1))kym,Γ (s) est holomorphe.D’autre part, le lemme 5.2 implique que l’exposant caractéristique deIPK,m(x,y),Γ (s) estsupérieur d’au plusk2 + · · · + kL K à celui deI(x−x(1))kym,Γ (s). D’où vient l’énoncédésiré.
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